Satz des Pythagoras Rechner
Wissenschaftliche RechnerBerechnen Sie sofort die Hypotenuse, eine fehlende Kathete oder verifizieren Sie einen perfekten rechten Winkel mit exakten Wurzeln und schrittweisen Beweisen.
Modus
So bedienen Sie den Satz-des-Pythagoras-Rechner (Schritt-für-Schritt)
Rechtwinklige Dreiecke berechnen, Hypotenuse oder Katheten bestimmen, Wurzeln exakt vereinfachen und 90°-Winkel am Bau prüfen.
Modus wählen: Mathe-Schüler oder Bau & Handwerk
Wählen Sie 'Mathe-Schüler' für die klassische Schulgeometrie (Kathete a, Kathete b, Hypotenuse c) oder 'Bau & Handwerk' für Baustellen- und Zimmerermaße (Wand 1, Wand 2, Diagonale).
Beliebige zwei bekannte Seiten eintragen
Geben Sie zwei beliebige Maße ein (beide Katheten oder eine Kathete und die Hypotenuse). Der Algorithmus sperrt das verbleibende Feld und berechnet die fehlende Seite automatisch.
Automatische bidirektionale Berechnung
Das System berechnet sofort c = √(a² + b²) für die Hypotenuse bzw. a = √(c² - b²) für eine Kathete unter strenger Berücksichtigung der Bedingung c > a und c > b.
Exakte Wurzelform & Dezimalwerte vergleichen
Lesen Sie parallel präzise Dezimalbrüche und die exakt gekürzte Wurzelform (z. B. √20 = 2√5) ab, ohne selbst Primfaktoren zerlegen zu müssen.
Pythagoreische Tripel & 90°-Rechter-Winkel prüfen
Ein dynamisches Statusabzeichen bestätigt, ob es sich um ein ganzzahliges pythagoreisches Zahlentripel (z. B. 3-4-5, 5-12-13) handelt, ideal für rechtwinklige Schnurgerüste.
Schritt-für-Schritt-Rechenweg kopieren
Klicken Sie auf 'Rechenweg kopieren', um den vollständigen mathematischen Lösungsweg mit Formelumstellung und Zwischenschritten für Hausaufgaben oder Protokolle zu exportieren.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Rechtwinklige Dreiecke, Formeln, pythagoreische Zahlentripel, 3-4-5-Baupraxis und Wurzelfaktorisierung.
QWas besagt der Satz des Pythagoras und wie lautet die Formel?
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats ist: a² + b² = c². Daraus folgt für die Hypotenuse c = √(a² + b²).
QGilt der Satz des Pythagoras auch für spitzwinklige oder stumpfwinklige Dreiecke?
Nein. Er gilt ausschließlich für Dreiecke mit einem exakten 90°-Winkel. Bei schiefwinkligen Dreiecken gilt der Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab·cos(C). Da cos(90°) = 0 ist, geht der Kosinussatz im rechtwinkligen Dreieck direkt in den Satz des Pythagoras über.
QWie berechnet man eine fehlende Kathete aus Hypotenuse und Kathete?
Durch Umstellen der Grundgleichung nach der gesuchten Kathete: a² = c² - b² ergibt a = √(c² - b²) bzw. b = √(c² - a²). Dabei muss die Hypotenuse c zwingend größer als jede der beiden Katheten sein (c > a und c > b).
QWas ist ein pythagoreisches Tripel und welche Beispiele gibt es?
Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen (a, b, c), die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen. Das bekannteste primitive Tripel ist (3, 4, 5), denn 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Weitere bekannte Tripel sind (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) und deren Vielfache wie (6, 8, 10).
QWie funktioniert die 3-4-5-Methode auf der Baustelle zum Einmessen von 90°-Winkeln?
Zimmerer und Maurer nutzen das Tripel 3-4-5, um rechte Winkel ohne Winkelmesser präzise zu prüfen: Man misst ausgehend von der Ecke an einer Wand 3 Meter und an der anderen Wand 4 Meter ab. Beträgt die diagonale Distanz exakt 5 Meter, ist die Ecke absolut rechtwinklig (90°).
QWorin besteht der Unterschied zwischen exakter Wurzelform und Dezimalnäherung?
Die exakte Wurzelform drückt das Ergebnis ohne Rundungsverlust aus (z. B. c = √50 vereinfacht zu 5√2). Die Dezimalform ist eine Näherung mit gerundeten Nachkommastellen (z. B. 7,0711). Exakte Wurzeln werden in Schule und Universität verlangt, Dezimalwerte im Handwerk.
QWie hängt der Satz des Pythagoras mit der euklidischen Abstandsformel zusammen?
Der Abstand d zweier Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) im Koordinatensystem lautet d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]. Diese Formel ist eine direkte Anwendung des Satzes des Pythagoras, wobei Δx und Δy die Katheten und der Abstand d die Hypotenuse darstellen.
QKann die Hypotenuse jemals kürzer oder gleich lang wie eine Kathete sein?
Nein. In der euklidischen Geometrie liegt die Hypotenuse immer dem größten Innenwinkel (90°) gegenüber und ist daher zwingend die längste Seite. Wäre c ≤ a, ergäbe der Ausdruck c² - a² eine Null oder negative Zahl unter der Wurzel, was geometrisch unmöglich ist.
- c (Hypotenuse): Die längste Seite (gegenüber dem rechten Winkel).
- a, b (Katheten): Die beiden kürzeren Seiten (a und b).